آکاایران : از آنجایکه جبر بولی در ساختار چیپ های کمپیوتری ، مدارهای منطقی نقش اساسی دارد لازم است در مورد جبر بولی، ساختار آن ، انواع تابع های آن، جدول درستی هر کدام و اصول و قوانین موجود در آن بحث کنیم.پس در ادامه این مقاله از مجموعه مقالات علمی آکاایران , با ما همراه باشید.

توابع بولی

توابع بولی (به انگلیسی: boolean functions)، به تابعی گویند که از یک عبارت جبری متشکل از متغیرهای دودویی وثابت‌های ۰ و ۱، عملگرهای منطقی «یا»، «و»، «نفی» و همچنین پرانتز و علامت مساوی است. تابع بول را می‌توان به نمودار مداری به نام گیت تبدیل کرد. برای یک مقدار مشخص متغیرها، تابع فقط می‌تواند مقدار ۰ یا ۱ داشته باشد.

Image result for ‫تابع بولی‬‎

تعریف دقیق

در ریاضی، یک تابع بولی (محدود) تابعی است به صورتf: Bk → B نمایش داده می‌شود، که در آن{ B = {۰, ۱دامنهٔ بولی و kعدد صحیح نا منفی است که
عدد آرگومان تابع نامیده می‌شود، در صورتی که k=۰، «تابع» لزوماً یک المان ثابت B است.
هر فرمول بول k-تایی را می‌توان به صورت فرمول گزاره‌ای نشان داد که تابع kمتغیرx1,x2,. . . باشد؛ دو فورمول به صورت منطقی معادلند اگر و فقط اگردو تابع بولی یکسان را مشخص کنند. برای هرkتابع داریم.

انواع توابع بول

تابع بولی NOT

این تابع مقدار ورودی یک را صفر و صفر را یک می‌کند.
این مدار وضعیت متغیر دودویی را معکوس می‌کند.
همچنین متمم متغیر را تولید می‌کند.

تابع بولیOR

در این تابع تنها اگر یکی از متغیرها مقدار یک داشته باشد خروجی برابر یک خواهد بود.
در صورتی مقدار خروجی صفر می‌شود که تمام ورودی‌ها برابر صفر باشند.

تابع بولیAND

در این تابع اگر یکی از متغیرها صفر باشد خروجی گیت نیز صفر خواهد بود.
تابع بولی فوق در صورتی مقدار یک را برمی‌گرداند که همهٔ متغیرها برابر یک باشند.

تابع بولی NAND

این تابع بولی معادل با NOT AND می‌باشد.
خروجی ان در صورتی صفر می‌شود که تمام متغیرهای ورودی ان یک باشند.

تابع بولی NOR

این تابع هم معادل NOT OR می‌باشد.
یعنی خروجی تنها در صورتی یک می‌باشد که تمام ورودی‌ها برابر صفر باشند.

تابع بولی XOR

در این تابع بول اگر همهٔ متغیرهای ورودی از یک نوع باشند یعنی اگر همهٔ ورودی‌ها یک یا صفر باشد خروجی صفر خواهد بود.
در غیر این صورت برابر یک می‌باشد.
XOR چند ورودی از نظر سخت‌افزاری متداول نیست.
XOR یک تابع بولی فرد است. یعنی اگر ورودی اش دارای تعداد فردی یک باشد خروجی ان برابر یک می‌شود.

تابع بولی XNOR

در این تابع بولی اگر متغیرهای ورودی از یک نوع باشند خروجی یک می‌شود در غیر این صورت برابر صفر خواهد بود.

تابع بولیBUFFER

این تابع عمل منطقی تولید نمی‌کند.
مقدار دودویی ورودی برابر مقدار خروجی است.
از مدار بافر در تقویت توان سیگنال‌ها استفاده می‌شود.
BUFEER معادل دو NOT متوالی است.

توابع بولی و کاربرد

یک تابع بولی مشخص می‌کند که چگونه به وسیلهٔ محاسبات منطقی و ورودی‌های بولی، خروجی مناسب بسازیم. چنین توابعی نقشی اساسی در مسائل نظریه پیچیدگی دارند، همچنین در طراحی مدارها و چیپ‌های کامپیوترهای دیجیتال. ویژگی‌های توابع بولی نقش بسیار مهمی را در رمزنگاری ایفا می‌کنند، به ویژه در طراحی الگوریتم‌های کلید متقارن.
توابع بولی غالباً بوسیلهٔ گزاره‌های منطقی نشان داده می‌شوند، اما نمودار تصمیم دوگانه، روش خنثی‌سازی متعارف و گراف‌های جهت دار غیر چرخشی گزاره‌ای روش‌های کارآمد تری برای نمایش آن هستند.

گیت

گیت‌ها بلوک‌های سخت‌افزاری اند که اگر ورودی مناسبی داشته باشند در خروجی خود ۰ و۱ تولید می‌نمایند. یک گیت می‌تواند بیش از دو ورودی داشته باشد. گیت‌های استانداردی که در طراحی سیستم‌های دیجیتال به کار می‌روند معادل توابع بولیراست که مجملی از آن درمطالب فوق بیان شد.

ساده‌سازی تابع‌های بولی دو متغیره

  • با استفاده از نقشه کارنو: یک روش مناسب برای ساده کردن تابع‌های بول است.[۱]

نقشهٔ دو متغیره:

کاربرد تابع بولی

نقشه سه متغیره:

انواع تابع بولی
کاربرد تابع بولین

نقشه چهار متغیره:

توابع بولین